domingo, 25 de octubre de 2009

Como se calcula la media, la mediana y la moda.

MEDIA
Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.


Media aritmética
La media aritmética es un promedio estándar que a menudo se denomina "promedio".
 \bar{x} = \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n{x_i}
La media se confunde a veces con la mediana o moda. La media aritmética es el promedio de un conjunto de valores, o su distribución; sin embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda. La media o moda son elementos intuitivos de medir los datos. Es a veces una forma de medir el sesgo de una distribución tal y como se puede hacer en las distribuciones exponencial y de Poisson.

Por ejemplo, la media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es de:

 \tfrac{34+27+45+55+22+34}{6}\ = \tfrac{217}{6}\cong 36,167



Media aritmética ponderada
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si X1,X2,...,Xn es un conjunto de datos o media muestral y w1,w2,...,wn son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de ponderación, se define la media ponderada relativa a esos pesos como:

\bar{X}_w = \frac{X_1\cdot w_1 + X_2\cdot w_2 + ... + X_n\cdot w_n}{w_1+w_2+...+w_n} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i\cdot w_i}{\sum_{i=1}^n w_i}
La media es invariante frente a transformaciones lineales, cambio de origen y escala, de las variables, es decir si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria que depende linealmente de X, es decir, Y = a·X + b (donde a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen) se tiene que:
\bar{Y} = a\bar{X} + b

Media geométrica
La media geométrica es un promedio muy útil en conjuntos de números que son interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.
 \bar{x} = \left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^{1/n}
Por ejemplo, la media geométrica de la serie de números 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es de: (34×27×45×55×22×34)

1/6 = 1,699,493,4001/6 ≈ 34.545.

Media armónica
La media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia por unidad de tiempo).
 \bar{x} = n \cdot \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}
Por ejemplo, la media armónica de los números: 34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:
\frac{6}{\frac{1}{34}+\frac{1}{27}+\frac{1}{45} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22}+\frac{1}{34}}\approx 33,0179836.

MEDIANA
Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula:


MODA
La medida modal nos indica el valor que más veces se repite dentro de los datos; es decir, si tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que más veces se repite es el número 2 quien seria la moda de los datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente dos valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina Bimodal o en otros casos más de dos valores, lo que se conoce como multimodal.
En conclusión las Medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por último la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.

















No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada